極限と積分を入れ替える
\[
\lim_{\alpha\to 0}\int_a^b F(x,\alpha)\,dx
=
\int_a^b \lim_{\alpha\to 0}F(x,\alpha)\,dx
\]
という操作では、本来被積分関数が積分区間 [a,b] で 一様収束 すること（より厳密にいうと、関数族 \(F(\mathord{\cdot},\alpha)\) が $\alpha\to 0$ において $F(\mathord{\cdot},0)$ に一様収束し、各関数が積分可能であること）
が十分条件のひとつとなる。
詳しく説明しよう。
被積分関数 $F(x,\alpha)$ に対して、関数列を \( f_n(x)=F\!\left(x,1/n\right) \ (n=1,2,\ldots),\ \ f_0(x)=F(x,0) \) と定義する。ここで上限ノルムを次のように定義する。
$$
\lVert f\rVert_\infty
=
\sup_{x\in[a,b]}\lvert f(x)\rvert
$$
すなわち、区間 $[a,b]$ における $\lvert f(x)\rvert$ の上限が
$f$ の上限ノルムである。このノルムを用いると、$f_n$ が $f_0$ に
一様収束することは次
$$
\lim_{n\to\infty}\lVert f_n-f_0\rVert_\infty=0
$$
のように定義される。